تصحیحات تابشی مرتبه اول انرژی کزیمیر برای نظریه الکترودینامیک کوانتومی

‎aselineskip=1.1cm‎ ‎chapter{مقدمه}‎ یکی از جالب ترین جنبه های نظریه میدان کوانتومی این است که محیط خلأ حقیقتا خالی نمی باشد. طبق این مکانیک، این محیط پر از ذراتی است که‎‎ بوجود می آیند و از طرفی به سرعت از بین می روند از اینرو محیط خلأ بایستی دارای مقداری انرژی باشد. طبق نظریه میدان های کوانتومی (در فصل اول به آن اشاره می کنیم) مقدار انرژی خلأ عبارت است از ‎‎ ‎egin{equation}‎ ‎e = ‎frac{hbar‎}{2} sum_{n=1}^infty omega_n‎. ‎end{equation}‎ ‎‎ همانطور که از جمع روی همه مدهای میدان پیدا می باشد حاصل جمع فوق مقداری نامعین است. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ یکی از پی آیندهای مهم حضور ذرات مجازی در خلأ (این ذرات در خلأ افت و خیز می کنند) یا وجود مقداری انرژی برای خلأ، آشکارسازی نیرویی تحت عنوان نیروی کازیمیر است. در واقع اثر کازیمیر یکی از نادرترین آشکارسازی های انرژی نقطه صفر یک میدان کوانتومی است. در ساده ترین حالت اثر کازیمیر نیروی بین دو صفحه فلزی موازی بدون باری است که در دمای صفر در خلأ قرار داده شده اند. این اثر ناشی از اختلاف بین طیف نوسانات نقطه صفر در حضور صفحات و در نبود آنهاست و تنها به ثابتهای بنیادی ‎$hbar $‎ ، ‎$c$‎ و فاصله بین صفحات بستگی دارد. در سال ‎????‎ هندریک کازیمیر ‎‎ltr‎footnote{casimir}‎ فیزیکدان آلمانی وجود این نیرو را پیش بینی کرد ‎cite{casimir}‎ (برای یک مرور کلی درباره اثر کازیمیر به ‎‎cite{bordag,‎miltonn}‎ مراجعه کنید). ‎‎ ‎egin{figure}[th1]‎ ‎centerline {includegraphics[scale=0.7]{111.jpg}}caption{‎ نیروی کازیمیر ‎}label{fig1111}‎ ‎end{figure}‎ ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ شاید در نگاه نخست سوأل پیش آید که آیا برای آرایش های هندسی دیگر نیز این نیرو جاذبه است؟ پاسخ منفی است. مهمترین عامل در مورد پدیده کازیمیر آرایش هندسی مسئله ما می باشد. در آرایش های دیگر جز آرایش هندسی دو صفحه، اینکه نوع نیرو جاذبه یا دافعه است کاملا مشخص نیست و بایستی به دقت این مطلب بررسی شود. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ ذکر این نکته ضروری است که در حضور دو صفحه تمام مدهای میدان مجاز نمی باشند تا در بین دو صفحه موجود باشند. از اینرو اینجاست که شرط مرزی نقشی بسیار مهم در تعیین مدهای کوانتیزه تکانه میدان بازی می کند. ‎‎ ‎egin{figure}[th11]‎ ‎centerline {includegraphics[scale=1.5]{11111.jpg}}caption{‎ مدهای مجاز میدان در حضور صفحات ‎}label{fig22222}‎ ‎end{figure}‎ ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ وقتی برای اولین بار اثر کازیمیر پیش بینی شد، اندازه گیری آن با استفاده از وسایل آن زمان بسیار مشکل بود. یکی از اولین آزمایشهایی که در سال ‎????‎ به وسیله ی مارکوس اسپارنای ‎‎ltr‎footnote{sparnaay}‎ در آزمایشگاه فیلیپس در آیندهون انجام شد این بود که او روی نیروی بین دو آینه ی تخت فلزی ساخته شده از آلومینیوم، کروم یا فولاد تحقیق کرد ‎cite{sparnaay}‎ . وی این نیرو را با به کاربردن یک ترازوی فنری اندازه گرفت که انبساط فنر آن به وسیله ظرفیت دو صفحه تعیین می شد. برای اجتناب از حذف نیروی کازیمیر توسط نیروی الکترواستاتیک، قبل از هر اندازه گیری بایستی ابتدا آینه ها با هم تماس پیدا کنند تا در حالت خنثی نگه داشته شوند. همچنین باید صفحات آینه ها کاملاً موازی یکدیگر قرار گیرد، چون نیروی کازیمیر نسبت به تغییرات فاصله بسیار حساس است. اسپارنای بر این مشکلات فائق آمد و به این نتیجه رسید که پیشگویی نظری کازیمیر رد نمی شود. از آن زمان تا کنون وسایلی ساخته شده اند که مطالعه ی اثر کازیمیر را خیلی راحت تر کرده اند. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ انجام اندازه گیریهای جدید درسال ‎????‎ شروع شد. جناب آقای لامورکس ‎‎ltr‎footnote{lamoreaux}‎ که در آن موقع در دانشگاه واشینگتن در سیاتل بود، نیروی کازیمیر را بین یک لنز کروی با قطر ‎?‎ سانتی متر و یک صفحه کوارتز نوری با عرض ‎?/?‎ سانتی متر که هر دو با مس و طلا لایه نشانی شده بودند، اندازه گیری کرد. لنز و صفحه به یک پاندول پیچشی (یک قطعه افقی پیچان که به وسیله یک سیم تنگستن آویزان بود) متصل بودند که در یک ظرف استوانه ای تحت خلا قرار می گرفت. وقتی لامورکس لنز و صفحه را به فاصله چندین میکرونی از یکدیگر رساند، نیروی کازیمیر باعث شد که دو جسم به طرف یکدیگر کشیده شوند و پاندول پیچ بخورد. او دریافت که اندازه گیریهای تجربی او با دقت زیادی با نظریه تطابق دارد (مقدار نظری این نیرو در فصل دوم بدست می آید). ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ اندازه گیری های مشابهی برای هندسه های دیگری نیز انجام شده است و از طرفی دقت های این اندازه گیری ها به مرور زمان به میزان چشم گیری بهبود یافته است ‎cite{force,braden,nostres,a,b,c}‎ . ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ پدیده کازیمیر در بسیاری از شاخه های علم فیزیک مورد مطالعه قرار گرفته است. برای مثال اندازه ثابت کیهان شناسی به کمک پدیده کازیمیر تخمین زده شده است ‎cite{d,e,f}‎. این پدیده هم چنین در زمینه نظریه ریسمان مورد مطالعه قرار گرفته است ‎cite{g}‎. علاوه بر این ها از این پدیده در شناخت و بررسی ویژگی های فضا-زمان با ابعاد اضافی نیز بهره گرفته شده است ‎cite{h,i,j}‎. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ عمده تحقیقات انجام شده در ارتباط با پدیده کازیمیر مربوط به محاسبه انرژی و یا نیروهای پی آیند برای میدان های گوناگون در هندسه های مختلف از قبیل هندسه صفحات موازی ‎cite{casimir,k}‎، سامانه های مکعب شکل ‎cite{l,m,n,o,p,qm,r,s,t}‎ و همینطور هندسه های کروی ‎cite{s,y,z,cc}‎ است. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ لازم است در اینجا به یک نکته بسیار مهم اشاره کنیم. آرایش هندسی دو صفحه موازی عموما قابل ساماندهی نمی باشد در عوض به جای آن از آرایش هندسی صفحه-کره استفاده می کنند. ملاحظه این آرایش هندسی بسیار مهم است چرا که نگه داشتن دو صفحه موازی نزدیک یکدیگر در فواصل چنین اندکی بسیار دشوار است و در مطالعات اثر کازیمیر در موارد بسیاری از این آرایش به عنوان آرایش هندسی معادل با دو صفحه موازی استفاده می کنند. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ پیرو مطالب قبل باید بگوییم نیروی کازیمیر اختلاف بین انرژی خلأ در دو حالت حضور صفحات و نبود صفحات است یعنی گویی ما داریم دو کمیت بی نهایت را از هم کم می کنیم. به تبع بدون تمهید خاصی جواب نیز بی نهایت خواهد شد اما این یک اشتباه محض است. ما در جهان حقیقی چیزی به معنای انرژی بی نهایت نداریم. وجود این بی نهایت تنها از فرمول بندی ریاضی حاکم بر مسئله پدیدار می شود پس بایستی ترتیبی اتخاذ کنیم تا جواب های فیزیکی خود را از دل مسئله بیرون بکشیم. ‎‎ برای این منظور روش های گوناگونی وجود دارد که از مهم ترین آن ها می توان به روش تابع زتا، منظم سازی ابعادی، تقریب جناب بویر و ... اشاره کرد. در قسمت بعدی از روش تابع زتا استفاده می کنیم تا نیروی کازیمیر را برای میدان اسکالر بدون جرم و نیز میدان الکترومغناطیسی محاسبه کنیم. از طرفی برای محاسبه تصحیح تابشی انرژی کازیمیر روشی را اتخاذ می کنیم که مشابه روند جناب بویر است. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ همانگونه که بر همگان آشکار است پدیده کازیمیر از چنان اهمیتی برخوردار است که با وجود ‎??‎ سال از کشف آن هنوز کارهای بسیار زیادی در عین حال بسیار مهم در ارتباط با آن انجام می شود. برای نمونه یک مورد از کارهایی را بیان می کنیم که در اواخر سال ‎????‎ میلادی انجام شده است تا به اهمیت این پدیده تأکیدی دو چندان کنیم. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ همانطور که گفتیم در فضای تهی فوتون های مجازی دائما افت و خیز می کنند. این فوتون ها به سرعت به وجود می آیند و به سرعت نابود می شوند. با اینکه فوتون های مجازی همواره در اطراف ما حضور دارند اما مستقیماً قابل رویت نیستند. اما جین کریستوف جاسکولا ‎ltrfootnote{ jaskula jean-christophe}‎ و همکارانش از دانشگاه پاریس-سود ‎(فرانسه)‎ گزارش می دهند که با استفاده از ‎«‎چگالش بوز-اینشتین‎» (به جای خلا‎?)‎ در اثر دینامیک کازیمیر ذرات حقیقی تولید می کنند ‎cite{azsxdc}‎ ؛ در سال ‎????‎ جرارد مور ‎ltrfootnote{ moore gerald}‎ فیزیکدان آمریکایی اثر کازیمیر دینامیکی را پیشنهاد کرد به طوری که اثر کازیمیر دینامیکی‎‎ روی حرکت آینه های اثر کازیمیر اصلی استوار است. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ در واقع ایده مربوطه در این کار این است که فاز یک موج الکترومغناطیسی روی سطح آینه صفر می شود. حال اگر آینه با سرعت بسیار زیادی (کسر قابل توجهی از سرعت نور) حرکت داده شود میدان الکترومغناطیسی زمانی برای تنظیم خود با آینه ندارد (منظور زمانی برای اینکه فاز موج دوباره روی آینه ها صفر شود). نتیجه این است که قبل از آنکه این ذرات نابود شوند آینه می تواند ذرات مجازی را جدا کند. این دستاورد بسیار شگفت آوری است از اینرو مطالعه اثر دینامیک کازیمیر بخشی از تلاش ما می باشد تا خودمان را از این حیث که فضای تهی با فوتون های مجازی پر شده است، متقاعد کنیم. ‎‎ ‎egin{figure}[th1122]‎ ‎centerline {includegraphics[scale=0.8]{222.png}}caption{‎ تشدید کننده اثر کازیمیر دینامیکی. طول اولیه تشدید کننده در شکل بالاتر است. موج سینوسی یکی از مدهای تشدیدکننده را نشان می دهد به طوری که در حالت اولیه بوسیله افت و خیزهای خلأ پر شده است. طول تشدید کننده ناگهان تغییر می کند (شکل پایین تر). طول موج و فرکانس مد سینوسی به سرعت تغییر می کند. بنابراین افت و خیزهای خلأ تقویت می شوند و فوتون های حقیقی می کنند. ‎}label{fig33333}‎ ‎end{figure}‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ با این حال اگرچه پدیده کازیمیر قریب به ‎??‎ سال شناخته شده است اما پرسش درباره تصحیحات تابشی مرتبه اصلی انرژی و نیروی مربوط به این پدیده هنوز مطرح است و جای بحث دارد. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ اولین تلاش ها برای محاسبه تصحیحات تابشی انرژی کازیمیر در یک مقاله توسط برداگ‎ltrfootnote{bordag}،‎ روباژیک‎‎ltr‎footnote{robaschik}‎ و ویسزرک ‎‎ltr‎footnote{wieczorek}‎ گزارش شده است ‎cite{hh}‎ . کارهای بسیاری در زمینه تصحیحات تابشی انرژی کازیمیر برای موارد گوناگون انجام شده است ‎cite{hh,jj,jjjj,jjjjj,jjjjjj,kkk,ll,mm,nn,oo,rr,ss,an,tt}‎ . برای نمونه در مورد یک میدان اسکالر حقیقی جرم دار تصحیح مرتبه اول انرژی در ‎cite{bordag,t,oo,rr,ss,an,tt,uu,vv,xx,yy,zz}‎ محاسبه شده است. علاوه بر این تصحیحات تابشی دو حلقه ای برای برخی از نظریه میدان های موثر بررسی شده است (برای نمونه مراجعه کنید به ‎cite{kkk,ll,mm})‎. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ برداگ و همکارانش تصحیح تابشی انرژی کازیمیر را در نتیجه یکی از سه عبارت مربوطه از مرتبه ‎$ alpha $‎ ، ‎ aisebox{-2mm}{includegraphics[scale=1.5]{4.eps}}‎ ، در حضور دو صفحه موازی کاملا رسانا برای نظریه الکترودینامیک کوانتومی محاسبه کرده اند. در محاسبه ایشان انتشارگر فوتون شرایط مرزی روی صفحات را ارضا می کند در حالی که صفحات نسبت به میدان فرمیونی یعنی الکترون ها گویی شفاف هستند (به بیان ساده الکترون ها صفحات را نمی بینند) به عبارت دیگر صفحات الکترون ها را مقید نمی کند. آنها تصحیح ‎$ e ^{(1)} _ 0 = frac { pi^{2} alpha} {2560ma^{4}} $‎ را به عبارت اصلی مشهور انرژی کازیمیر ‎$ e^{(0)}_0 =‎ - ‎frac{pi^2}{720 a^3} $‎ اضافه نموده اند. جایی که ‎$a$‎ فاصله بین دو صفحه و ‎$m$‎ جرم الکترون می باشد. در سال ‎????‎ این نتیجه با رهیافت دیگری گزارش شده است ‎cite{jj}‎ . ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ این در حالی است که در چار‎‎چوب نظریه اختلالی باز بهنجار شده الکترودینامیک کوانتومی سه سهم از مرتبه ‎$ alpha $‎ وجود دارد. تا کنون تمام مقالات در زمینه پدیده کازیمیر که ما از آن ها آگاهیم، دو دیاگرام مربوط به تصحیح تابشی انرژی کازیمیر برای مرتبه اصلی را بررسی نکرده اند؛ تک حلقه فوتونی، ‎ aisebox{-3mm}{includegraphics[scale=0.5]{g4.eps}}‎ ، ناشی از میدان الکترومغناطیسی و تک حلقه فرمیونی، ‎ aisebox{-3mm}{includegraphics[scale=0.5]{g5.eps}}‎ ، ناشی از میدان فرمیونی. ‎‎ ‎hspace*{0.6cm}‎ هدف اصلی این پژوهش محاسبه مستقیم تصحیح تابشی انرژی کازیمیر مربوط به تصحیحات تک حلقه ای، حلقه فوتونی و حلقه فرمیونی، در چارچوب نظریه اختلالی بازبهنجار شده برای نظریه الکترودینامیک کوانتومی است. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ برای این کار ابتدا ما از منظم سازی ابعادی استفاده می کنیم. سپس با استفاده از تابع گرین در حضور دو صفحه برای میدان الکترومغناطیسی با شرط مرزی دریکله و میدان اسپینوری با شرط مرزی کیسه‎ ایmit،‎ به عنوان انتشارگر در فضای مکان (فضای حقیقی)، و همچنین قوانین فاینمن ‎ltrfootnote{feynman}‎ برای نظریه الکترودینامیک کوانتومی در نظریه اختلالی باز بهنجار شده، تصحیحات تابشی در نتیجه این تصحیحات تک حلقه ای محاسبه می شود. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ رهیافت ما در محاسبه تصحیحات تابشی انرژی کازیمیر سر راست ترین آنها است. در این روش ما دو انرژی بی نهایت را از هم کم می کنیم؛ یکی مربوط به حضور صفحات و دیگری مربوط به غیاب دو صفحه. در واقع به عبارت خیلی ساده و قابل فهم ما هر دو بی نهایت را به طریقی جور می کنیم که در کم کردن از یک دیگر این دو بینهایت هم دیگر را حذف کنند و نتیجه فیزیکی مورد نظر ما بدست آید. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ ما این پایان نامه را به ترتیب زیر تنظیم می کنیم. ‎‎ ‎hspace*{0.5cm}‎ در فصل اول مقدمه ای از نظریه میدان های کوانتومی بیان می کنیم. بدین شکل که ابتدا معادله دیراک و جواب های آنرا بررسی می کنیم. سپس با ملاحظه شباهت بین یک میدان اسکالر و یک میدان الکترومغناطیسی نشان می دهیم که می توان از انتشارگر میدان اسکالر به جای انتشارگر میدان الکترومغناطیسی با در نظر گرفتن دو قطبش انتشارگر فوتون استفاده کنیم. علاوه بر آن با در نظر گرفتن شرایط مرزی روی میدان ها شکل این انتشارگرها را بدست می آوریم. سپس در فصل دوم اثر کازیمیر را به طور کامل تشریح می کنیم و از سوی دیگر به اهمیت این پدیده اشاره می کنیم. در ادامه این فصل محاسبه انرژی کازیمیر را برای دو میدان اسکالر بدون جرم و میدان الکترومغناطیسی انجام می دهیم. در فصل سوم به بازبهنجارش نظریه الکترودینامیک کوانتومی خواهیم پرداخت که ایده اصلی این پژوهش از این بخش گرفته شده است. در فصل چهارم تصحیح تابشی انرژی کازیمیر در نتیجه حلقه فوتونی تا مرتبه ‎$ alpha $‎ در چارچوب نظریه اختلالی بازبهنجار شده بررسی می شود. در این فصل با جایگزین کردن انتشارگر فوتون با انتشارگر میدان اسکالر بدون جرم و با اعمال شرط مرزی دریکله روی دو صفحه سهم این تصحیح را بدست می آوریم. در فصل پنجم تصحیح تابشی انرژی کازیمیر در نتیجه حلقه فرمیونی محاسبه خواهد شد. مشابه فصل قبلی که مطرح شد در اینجا از شرط مرزی ‎mit‎ برای مقید کردن میدان فرمیونی استفاده خواهیم کرد. در نهایت نتایجمان را با نتیجه بدست آمده توسط برداگ و همکارانش مقایسه می کنیم. در این مسئله شرایط مرزی نقش مهمی ایفا می کنند و می بایست به شکلی فیزیکی اعمال شوند. دو نوع شرایط مرزی در نظر گرفته می شود؛ شرط مرزی دریکله برای فوتون ها و شرط مرزی کیسه ای ‎mit‎ برای فرمیون ها لحاظ می شود. محاسبات brw بر مبنای نادیده گرفتن مرز روی میدان فرمیونی است. قصد داریم که بعلاوه حلقه فوتونی، حلقه فرمیونی را با اعمال شرط مرزی mit بدست آوریم.